Co má společného brzdění auta, kapající kohoutek a tvar mostu?
Představme si auto, které přijíždí ke křižovatce a začíná brzdit. Nezajímá nás jen to, kolik kilometrů ujelo za hodinu, ale také jak rychle se mění jeho rychlost právě v určitém okamžiku. Podobná otázka se objevuje při výpočtu namáhání konstrukcí, měření průtoku vody nebo sledování růstu populace. Svět se totiž většinou nemění v oddělených skocích, ale plynule. A plynulá změna je pro matematiku mimořádně náročný problém.
V sedmnáctém století se právě touto otázkou zabýval Gottfried Wilhelm Leibniz. Byl filozofem, diplomatem a matematikem, který se snažil najít obecný jazyk pro problémy, jež se na první pohled zdály nesouvisející. V roce 1675 si během práce v Paříži poznamenával postupy pro výpočty ploch pod křivkami a souvislosti mezi těmito plochami a tečnami. Dnes jeho pokusy čteme jako jeden ze zásadních kroků při vzniku diferenciálního a integrálního počtu.
Překvapivé je, jak skromně může tak významný objev na stránce rukopisu vypadat. Nejdříve se objevil protáhlý znak připomínající písmeno S, později malé značky `dx` a `dy`. Pro současného studenta jde o obvyklou součást rovnic. V Leibnizově době to byly experimentální značky, které teprve čekaly, zda se ukážou dostatečně užitečné.
Public domain, via Wikimedia Commons
Plocha pod křivkou se skládá z nespočtu malých kousků
Jedním z problémů, které matematiku dlouho zaměstnávaly, bylo určit plochu obrazce s nepravidelně zakřiveným okrajem. S obdélníkem si člověk poradí snadno: vynásobí šířku a výšku. Co ale dělat, když horní okraj není přímka, nýbrž křivka? Plochu lze přibližovat pomocí úzkých proužků. Čím užší jsou, tím přesnější je odhad. Zůstává však otázka, jak tento postup uchopit matematicky tak, aby šlo získat přesný výsledek.
Leibniz hledal zápis pro součet velmi malých příspěvků. Proto sáhl po protáhlém písmenu S, odkazujícím na latinské slovo summa. Z něj vznikl znak integrálu, který dnes připomíná úzkou zakroucenou čáru. Ve svém rukopisu jej použil 29. října 1675. To je důležité datum: na 11. listopad připadá jiná část příběhu a není správné oba okamžiky spojovat do jednoho výkřiku o „vynálezu integrálu“.
Dne 11. listopadu 1675 si totiž Leibniz do dalších rukopisných poznámek zapsal symboly spojené s nekonečně malými změnami, včetně `dx` a `dy`. V postupně vznikajícím matematickém jazyku mohly tyto symboly označovat nepatrný přírůstek jedné a druhé veličiny. Později umožnily formulovat vztahy mezi součtem nepatrných částí a okamžitou změnou. Nešlo jen o pohodlnou zkratku: zápis pomáhal přemýšlet o problémech novým způsobem.
Když na okamžiku záleží víc než na průměru
Představme si cyklistu, který během jedné hodiny ujede třicet kilometrů. Jeho průměrná rychlost je jasná, ale během jízdy mohl několikrát zastavit a naopak při sjezdu výrazně zrychlit. Chceme-li vědět, jak rychle se pohyboval v určité chvíli, potřebujeme zachytit změnu polohy během stále kratšího časového intervalu. Právě zde se uplatňuje diferenciální počet.
Podobně integrální počet umožňuje obrácený pohled. Když známe rychlost vozidla v každém okamžiku, můžeme z těchto údajů zjistit celkovou ujetou vzdálenost. Jeden matematický nástroj tak sleduje drobné okamžité změny, druhý je dokáže složit do výsledného celku. Tato souvislost patří k nejdůležitějším principům matematické analýzy a dnes se objevuje v nesčetných výpočtech, které běžný člověk ani nevnímá.
Přínos Leibnizova zápisu tkví také v jeho čitelnosti. Matematika je jazyk, a stejně jako běžný jazyk potřebuje vhodné znaky. Špatně zvolený zápis může úvahu komplikovat, zatímco dobrý zápis odhalí vztahy, kterých by si jinak člověk nevšiml. Leibnizova notace se postupně prosadila ve velké části vědeckého světa právě proto, že se s ní dalo účinně pracovat.
Leibniz nebyl na světě jediný, kdo tyto otázky řešil
Vznik matematické analýzy bývá spojován také s Isaacem Newtonem. Anglický vědec si vlastní postupy vypracoval dříve, než Leibniz některé své výsledky publikoval. Oba však používali odlišné přístupy a zápisy. Následný spor o prvenství se proměnil v jednu z nejslavnějších hádek dějin vědy, do níž se zapojily národní akademie, osobní rivality i obvinění z opisování.
Současní historici proto rozlišují mezi datem soukromého objevu, zveřejněním výsledků a skutečným vznikem širší matematické metody. Newtonovy a Leibnizovy práce byly do značné míry nezávislé, ale navazovaly na ještě starší pokusy matematiků porozumět pohybu, plochám a nekonečným posloupnostem. Žádný moderní vědní obor nevznikne jen tím, že si jeden člověk na papír napíše jedinou značku.
Leibnizův rukopis z 11. listopadu 1675 je přesto významný. Díky dochovaným dokumentům dokážeme sledovat, jak se rodil jazyk, který se osvědčil na stovky let. Kdybychom dnes odstranili matematickou analýzu z techniky, nešlo by spolehlivě modelovat pohyb letadel, proudění kapaliny, mnoho elektrických systémů ani značnou část moderní fyziky.
Až tedy člověk uvidí v učebnici nenápadné `dx`, nemusí si představovat neproniknutelnou akademickou hádanku. Je to stopa velmi praktické snahy vyjádřit, co se stane, když se svět změní jen o nepatrný kousek – a jak z nekonečného množství takových kousků vznikne celek.
MOHLO BY SE VÁM TAKÉ LÍBIT
Zdroje: Kód Enigma [1], MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews – Earliest Uses of Symbols of Calculus [2], MacTutor History of Mathematics – 11th November, Leibniz notation [3], Encyclopaedia Britannica – Gottfried Wilhelm Leibniz [4]
