Počítač objevil prvočíslo se 41 miliony číslic. K jeho ověření nestačil jediný superpočítač

Číslo, které se nevejde na papír

Kolik číslic může mít prvočíslo? Ve škole se obvykle setkáváme s malými příklady, jako jsou 2, 3, 5, 7 nebo 11. Prvočísla mají zvláštní vlastnost: jsou to přirozená čísla větší než jedna, která mají právě dva kladné dělitele, jedničku a sama sebe.

Matematikové už od starověku vědí, že prvočísel existuje nekonečně mnoho. Neexistuje tedy žádné poslední nebo největší prvočíslo. Přesto se stále snažíme hledat větší a větší příklady.

V říjnu 2024 zaznamenal projekt Great Internet Mersenne Prime Search, známý pod zkratkou GIMPS, mimořádný úspěch. Luke Durant objevil číslo, které obsahuje přesně 41 024 320 desetinných číslic. Zapsat jej celé do běžného článku by bylo prakticky nemožné. Při padesáti číslicích na řádek a šedesáti řádcích na stránku by jeho vytištění zabralo přes třináct tisíc stran. Naštěstí existuje mnohem stručnější zápis.

Matematický obr ukrytý v jednoduchém vzorci

Nově objevené číslo má podobu 2^136279841−1. Jinými slovy jde o číslo získané umocněním dvojky na 136 279 841 a následným odečtením jedničky.

Čísla tohoto typu se nazývají Mersennova čísla, podle francouzského matematika Marina Mersenna, který žil v 17. století. Pokud je takové číslo prvočíslem, hovoříme o Mersennově prvočísle.

Ne každé číslo vytvořené tímto vzorcem je ovšem prvočíslem. Například 2^3−1 = 7 prvočíslo je, zatímco 2^11−1 = 2047 už nikoli, protože jej lze rozložit na součin 23 a 89.

Právě rozlišení mezi prvočíslem a složeným číslem je u obrovských hodnot mimořádně náročné. Nestačí se jednoduše podívat na poslední číslici nebo vyzkoušet několik známých dělitelů. V případě čísel dlouhých desítky milionů číslic potřebují matematici speciální algoritmy, které dokážou jejich vlastnosti prověřit bez toho, aby postupně testovaly všechny možné dělitele.

_{MOHLO BY SE VÁM TAKÉ LÍBIT}

Číslo π zná každý. Téměř zapomenutá metoda ale ukazuje, že může být klíčem k tajemstvím černých děr

Superpočítač rozptýlený po celém světě

Luke Durant využil pro své pátrání výpočetní výkon grafických procesorů GPU. Ty se původně prosadily zejména při zpracování počítačové grafiky, ale díky schopnosti provádět velké množství výpočtů paralelně se staly důležitou součástí vědeckého výzkumu i moderní umělé inteligence.

Durant postupně vytvořil distribuovanou výpočetní infrastrukturu využívající tisíce GPU v datových centrech rozložených do mnoha zemí. Podle projektu GIMPS zahrnovala jeho výpočetní síť v době objevu 24 regionů datových center v 17 státech. Nešlo tedy o jeden mimořádně výkonný počítač stojící v jediné místnosti, ale o rozsáhlou koordinovanou síť.

Dne 11. října 2024 upozornil grafický procesor NVIDIA A100 v irském Dublinu na kandidáta, který s vysokou pravděpodobností mohl být prvočíslem. Následující den provedl další test procesor NVIDIA H100 v americkém San Antoniu. Výsledek potvrdil, že matematické pátrání přineslo nový rekord.

Jak dokázat něco, co nelze běžně spočítat

Při hledání obrovských prvočísel nestačí jediný pozitivní výsledek testu. Výpočet může ovlivnit chyba hardwaru, problém softwaru nebo jiná technická komplikace. Proto projekt GIMPS používá více nezávislých kontrol. Nejprve se hledají pravděpodobná prvočísla a následně se provádějí definitivní testy.

Pro Mersennova prvočísla existuje zvlášť účinný postup známý jako Lucasův–Lehmerův test. Umožňuje rozhodnout, zda číslo daného typu skutečně splňuje podmínky prvočísla. Důležitou součástí procesu je opakování výpočtu pomocí různých programů a hardwarových sestav. Tak lze významně omezit riziko, že výsledek vznikl chybou jediného zařízení.

Oficiální oznámení nového rekordu zveřejnil GIMPS 21. října 2024, až po dalších kontrolách výpočtu.

K čemu jsou tak obrovská prvočísla?

Prvočísla hrají zásadní roli v matematice a některé jejich vlastnosti se využívají v kryptografii. To ovšem neznamená, že rekordní Mersennovo prvočíslo bude automaticky sloužit k zabezpečení bankovních účtů nebo internetové komunikace.

Veřejně známé obrovské prvočíslo není samo o sobě tajným klíčem. A praktické kryptografické systémy běžně používají jiné velikosti a vlastnosti čísel, než jaké charakterizují rekordní matematické objevy.

Hledání Mersennových prvočísel má význam především pro teorii čísel a pro rozvoj metod spolehlivých výpočtů. Projekty jako GIMPS zároveň pomáhají testovat software, výpočetní algoritmy a schopnosti moderního hardwaru. Je tu také jednoduchý lidský důvod: matematické rekordy přitahují zvědavost. Podobně jako chceme znát nejvyšší horu nebo nejhlubší část oceánu, zajímá nás, jak daleko dokážeme proniknout do světa čísel.

Rekord, který nemůže být poslední

Durantovo číslo je 52. známé Mersennovo prvočíslo. Přestože jeho desetinný zápis obsahuje více než 41 milionů znaků, z matematického hlediska představuje pouze jeden další bod v nekonečné posloupnosti prvočísel.

To je na celém pátrání fascinující. Víme, že prvočísel existuje nekonečně mnoho, ale netušíme, kde se nachází další rekordní Mersennovo prvočíslo. Dokonce ani není dokázáno, že samotných Mersennových prvočísel musí být nekonečně mnoho. Každý další objev tak vyžaduje stále náročnější výpočty a stále důmyslnější metody.

A zatímco astronomové používají nejvýkonnější teleskopy k hledání vzdálených galaxií, matematici mohou podobně rozsáhlou výpočetní techniku zaměstnat pátráním po čísle, které nikdy nikdo neuvidí celé napsané.

_{MOHLO BY SE VÁM TAKÉ LÍBIT}

Henrietta Lacks: žena, která nikdy nezemřela. Její příběh skoro nikdo nezná

Vědci opravili gen v lidském embryu. Jednou by tak mohli zabránit dědičné nemoci ještě před narozením

Vědci vytvořili vodní baterii inspirovanou výrobou tofu

^{Zdroje: Kód Enigma [1], Great Internet Mersenne Prime Search – GIMPS Discovers Largest Known Prime Number: 2^136279841−1 [2], Prime Pages – Prime Curios: 136279841 [3]. img ai generated}